结果和结论

    利用 4 个 CPU 对圆柱体模型进行线性分析，用时不到 16 分钟，占用内存不到 11 GB（参见表 2）。表 2 还包括了平行直接求解器的计数结果；加速因数是根据求解时间得到的。对具有几何非线性的立方体 μFE 模型进行非线性分析，用时不到 7.4 小时，占用内存 4.1 GB。每个非线性分析需要大约 100 个线性方程的解，这就强调了求解器可伸缩性的重要性。骨骼结构中初始屈服点的定位使得非线性分析的收敛变得更加具有挑战性（参见图 3）。

表 2：6.4-3 版直接稀疏求解器性能

    图 3：在 2% 压缩应变情况下边长为 2.5 毫米立方体的μFE 模型的骨骼结构局部应力分布图

    图 4 是根据表观应变（样本长度的变化/原始样本长度）作出的表观应力（外力/横截面面积（25 平方毫米））图。初始屈服点定义为偏移量达到 0.2% 的点。与试验数据（参见参考文献 4）类似，压缩时的屈服应变比拉伸时的大。

表 3：不同模型组合的屈服应变

几何非线性	拉伸	压缩
考虑	0.61	0.78
不考虑	0.59	0.86

图 4：四个非线性分析的应力应变关系图几何非线性在压缩时引起软化，拉伸时引起硬化标记显示由 0.2% 偏移量方法（点划线）确定的初始屈服点

    虽然组织材料在硬化，但当考虑几何非线性时，很明显地观察到有软化发生（参见图 4）。另外屈服应变与试验测量结果类似，特别是压缩的情况下（参见参考文献 4）。这些结果表明在拉伸和压缩时骨小梁组织有着不同的屈服特性，应该把 μFE 模型和几何非线性结合起来，精确地模拟骨小梁的平面屈服特性。

     致谢

    ABAQUS, Inc. 衷心感谢加州大学伯克利分校的 Tony M. Keaveny 教授提供骨骼样本成像数据和有限元网格。

    参考文献
van Rietbergen, B.; H. Weinans; R. Huiskes; A. Odgaard, “A New Method to Determine the Trabecular Bone Elastic Properties and Loading Using Micromechanical Finite Element Models,” Journal of Biomechanics, vol. 28, pp. 69–81, 1995.
Rho, J. Y.; T. Y. Tsui; G. M. Pharr, “Elastic Properties of Human Cortical and Trabecular Lamellar Bone Measured by Nanoindentation,” Biomaterials, vol. 18, pp. 1325–1330, 1997.
Bayraktar, H. H.; E. F. Morgan; G. L. Niebur; G. E. Morris; E.  K. Wong; T. M. Keaveny, “Comparison of the Elastic and Yield Properties of Human Femoral Trabecular and Cortical Bone Tissue,” Journal of Biomechanics, vol. 37, pp. 27–35, 2004.
Morgan, E. F.; and T. M. Keaveny, “Dependence of Yield Strain of Human Trabecular Bone on Anatomic Site,” Journal of Biomechanics, vol. 34, pp. 569–577, 2001.

    ABAQUS 参考资料
有关本简报中提到的 ABAQUS 功能的附加信息，请参见 ABAQUS V6.4 文档中的以下内容：
Analysis User’s Manual
“Static stress analysis”，第 6.2.2 节
“Parallel execution in ABAQUS/Standard”，第 7.18.1 节
“Cast iron plasticity”，第 11.2.10 节