第一十二章 模态分析

    理论分析与实践均表明，阻尼对结构的固有频率和振型影响不大，所以在求解结构的固有频率和振型时，可以不计阻尼的影响[9]。固有频率和振型是系统的固有属性，与外载荷无关。结构的无阻尼自由振动方程为：

    式中，[M]为结构质量矩阵；[K]为结构刚度矩阵；为节点加速度矢量；{U}为节点位移矢量。

    对于线性系统，自由振动为简谐形式：

    式中，{φ}_i为第i（i=1,2,…,n）阶固有频率对应的特征向量，即振型；ω_i为第i阶固有频率（单位为rad/s）；t为时间。

    将式（12-2）代入式（12-1），有：

    式（12-3）有非零解（{φ}_i不可能全部为零）的条件为小括号内的行列式必须为零，即特征方程：

    由式（12-4）可解得特征值ω_i²。将ω_i²带入式（12-3），可求得与其对应的特征向量{φ}_i。ANSYS实际输出的模态频率是自然频率f（单位为Hz），且：

    ANSYS默认将振型{φ}_i相对于质量矩阵归一化：

    许多数值方法可用于求解式（12-3）。ANSYS提供了7种方法，它们分别是分块Lanczos法、PCG Lanczos法、超节点法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。前4种方法使用最广泛，详细介绍如下：

    （1）分块Lanczos法

    分块Lanczos法（默认选项）适用于大型对称特征值问题，这种方法采用稀疏矩阵求解器。

    （2）PCG Lanczos法

    PCG Lanczos法适用于非常大的对称特征值问题（50万自由度以上），在求解最低阶模态时尤其有用，这种方法采用PCG求解器。

    （3）超节点法

    超节点法适用于一次性求解高达10000阶的模态，可用于模态叠加法或PSD分析的模态提取，以求解结构的高频响应。

    （4）缩减法

    缩减法比分块Lanczos法快，因为它使用了缩减的系统矩阵来求解。然而，由于缩减质量矩阵是近似矩阵，缩减法的计算精度相对较低。

    通常，可让ANSYS自动选择求解器，即采用默认设置：分块Lanczos法。