第二章 第2章 车辆简化模型及振动

2.2.1单质量车身振动微分方程

      图2-6是分析车身振动的单质量系统模型，由车身质量m₂和弹簧刚度k、减振器阻尼系数为c的悬架组成，q为路面激励不平度函数，它是沿路前进方向的坐标 x为参数的随机过程。

图2-6  单质量车身振动模型

      取车身垂直位移坐标z的原点在静力平衡位置，可得到系统运动的微分方程为

                                                                              (2-7)

      即

                                                                                      (2-8)

      这是单自由度系统随机基础位移激励问题，系统的响应由两部分组成的，即由系统自由振动响应和强迫振动响应叠加组合而成的，也就是系统振动响应等于，振动微分方程的齐次方程的解和非齐次方程特解之和。

2.2.2单质量系统的自由振动响应

令，当激励q＝0时，则由式(2-35)可得单质量系统的自由振动微分方程为

                                                                                                     (2-9)

式中，p为系统的固有圆频率；而阻尼对系统的影响，取决于n与p的比值ξ，称ξ为阻尼比，即

                                                                   (2-10)

    汽车悬架系统阻尼比ξ，通常在0.25左右，属于小阻尼。因此，振动系统的齐次微分方程的解，也就是车身自由衰减的振动响应为

                                              (2-11）

式中，A是由初始条件所决定的常数，；φ是由初始条件决定的初相角，。
       由式（2-11）可知，有阻尼的自由衰减振动，车身质量m₂以有阻尼的固有频率振动，而振幅却按规律衰减，如图2-7所示。

图2-7  自由衰减振动曲线

       由上图2-7可知，阻尼对自由振动有两个方面的影响
（1）阻尼使固有频率降低
      如果无阻尼自由振动系统原固有频率，则弱阻尼悬架系统的固有频率p'为

       (2-12)

      因此，可知弱阻尼悬架系统的固有频率p'比无阻尼系统的固有频率p降低，且随ξ逐渐增大，则固有频率p'逐渐下降。
      由于汽车悬架系统的阻尼比ξ在0.25左右，因此，阻尼是悬架系统的固有频率仅下降了3％左右，可以忽略不计，所以，工程上小阻尼振动系统的固有圆频率p'，可以近似地认为等于无阻尼振动系统的固有圆频率p，即p≈p'。因此，车身振动的固有圆频率和固有频率，分别为

         (2-13)

       (2-14)

    （2）阻尼决定振幅的衰减程度
       设相邻两振幅分别为A_i和A_i+1(见图2-7)，它们的比值η称为减幅系数

              (2-15)

式中，n为衰减系数。n越大表示阻尼越大，振幅衰减也就越大。
       令为对数衰减率，因此，可得

          (2-16)

       所以，有上式可得振动系统的阻尼比为

              （2-17）

       若ξ﹤﹤1，则由式（2-16）得，，因此，小阻尼车辆悬架系统的阻尼比可近似表示为

            (2-18)

2.2.3单质量系统在简谐激振力下的响应

       由于阻尼会使自由振动逐渐衰减，最后达到完全停止。工程上大都是一些能持续下去的振动必定有外加能源，弥补阻尼所消耗的能量，使系统的振动不会衰减。因此，工程上只是关系强迫振动的响应。
       若简谐激振力，则根据牛顿第二定律，可得单质量振动系统在简谐激振力作用的振动微分方程式（2-8）可表示为

               (2-19)

       上式（2-19）可写为

           (2-20)

式中，
       振动微分方程式（2-20）的解包括两部分：齐次方程的通解Z₁和方程的特解Z₂，即

 

      由上节可知，在弱阻尼（ξ<1)的情况下，有阻尼自由振动齐次方程的解Z₁为

              (2-21)

       上式代表的是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，故为瞬态振动。在一般情况下实际工程意义不大，可以不予考虑。
      振动微分方程式（2-20）的特解Z₂，代表系统在简谐激振下所产生的强迫振动，它是一种持续的等幅振动，故为稳态振动。设特解Z₂为

              (2-22)

式中，Z为振动响应的幅值；ω为激振力圆频率，也是振动响应的圆频率；ψ为响应滞后于激励的相位差。
       又因为                                                    (2-23)

                      (2-24)

       将式（2-22）、式（2-23）和式（2-24），代入微分方程式（2-20），可得

      (2-25)

       利用三角函数关系得

     (2-26)

       比较式（2-26）和式（2-25），由于对任何瞬时t都成立，故和前的系数必须分别相等，即
                                  
                                  
       因此，可得         (2-27)

                  (2-28)

式中，为频率比；为系统的最大静位移。
       因此，强迫振动的稳态解为
                                                            (2-29)
       由上述强迫振动解可见：在简谐激振力作用下，强迫振动响应为也简谐振动，其频率与激振频率ω相同，但相位角滞后Ψ，这是由于阻尼存在的关系。振幅Z与相位差Ψ都只与系统固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。
由式(2-27)可得，Z与Z₀之比β，称为放大因子，即

             (2-30)

       放大因子β代表稳态振幅X与激振力幅F₀作用于弹簧上的静位移Z₀之比。β值不仅随λ而变，而且还随ξ值而变。
      在不同的阻尼比ξ值情况下，放大因子β与频率比λ的关系以及相角Ψ与λ的关系，如图2-8和图2-9所示。其中，图2-8称为幅频响应曲线，而图2-9称为相频响应曲线。

图2-8  幅频响应曲线

 图2-9  相频响应曲线

      由图2-8和图2-9可知：
       (1)当λ<<1，即激振频率ω远小于系统的固有频率p时，无论阻尼大小如何，β接近于1，即振幅近似等于激振力幅值F₀作用下的静变形X₀。故在低频区内，振幅X主要由弹簧刚度控制。此时，相位差Ψ≈0，即位移与激振力接近于同相位。
      (2)当λ>>1，即激振频率ω远大于系统的固有频率p时，β趋近于0。因为激振力方向改变太快，振动物体由于惯性来不及跟随，几乎停止不动。故在高频区内，振幅X主要决定于系统的惯性。这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据。相位差Ψ≈π，即在高频范围内位移与激振力接近于反相位。
      (3)当λ≈1时，即ω接近p，振幅X急剧增加，β趋向β_max，这种现象称为共振。严格地讲，β_max发生在处，但通常ξ²<<1，故ω=p时系统发生共振。由式(2-27)可以看出，振幅Z达到最大值时，由式(2-28)得。
      可见在共振时，振幅最大值Ζ_max与阻尼比ξ的值有关，ξ越小，则Ζ_max将越大；在ξ→0时，Ζ_max可达到无穷大。但共振时的Ψ值与阻尼比ξ的值无关，不论ξ为何值，共振时的Ψ总是π/2，这是共振时一个重要特征。从分析幅频响应与相频响应所引出的共振现象，是传统的共振试验法测定系统固有频率的理论基础。

2.2.4单质量系统在单位谐波函数激励下的响应

       单位谐波函数激励为复数形式的单位幅值简谐激振力，即，则单质量系统的振动微分方程为

         （2-31）

       单质量系统在单位谐波函数激励下的复数形式的响应为Ζ_c(t)。由于复数激振力和复数响应既是t的函数，又是ω的函数，故可令复数响应与复数激振力之比为Η(ω)，即

        （2-32）

称Η(ω)为频率响应函数。它是一个由系统特性确定的参数，表示系统在单位幅值的简谐激振力作用下所产生的振幅。对于简谐激励，若知道系统的频率响应函数，便可由式(2-32)可求得振动系统的输出响应，即

         （2-33）

       根据式(2-33)，可得单位简谐激振力作用下的响应为

                                          

       将上述三式代入式(2-32)，两边消去，即得频率响应函数为

       （2-34）

式中，λ为频率比，ξ为阻尼比。
       频率响应函数的模为    ，称为幅频特性。
       频率响应函数的相位差角为，称为相频特性。
       将复数形式的简谐激振力代入式(2-33)，则复数形式的响应为

      （2-35）

       若实际激振力为正弦函数F_0sinωt，则实际响应取复数形式响应的虚部，得实际解为

       若实际激励为余弦函数F_0cosωt，则取复数形式响应的实部，得实际解为

2.2.5单质量系统振动响应的付氏积分法

      激励函数f(t)的傅氏积分形式为

                   (2-36)

式中，                            (2-37)

      式(2-37)右端的积分运算称为激励f(t)的傅氏变换，式(2-36)相应地称为傅氏逆变换。由式(2-36)和式(2-37)所联系的两个量f(t)和F(ω)称为一个傅氏变换对。
通常响应函数z(t)，它可以用傅氏积分式(2-36)表示为

              (2-38)

式中，，Ζ(ω)是响应z(t)的傅氏变换。
      可以把非周期函数看成是由无数个复振幅为的谐波分量所组成，于是，根据式(2-35)求出对应于每个谐波分量的响应后，再根据线性系统的叠加原理，就可求得系统的响应

                (2-39)

       比较式(2-38)和式(2-39)，得

                (2-40)

       它表示输出和输入傅氏变换之比，等于频率响应函数H(ω)，简称频响函数。这与在简谐激振力作用下的输出与输入关系式相同。这说明频率响应函数能表示系统的动态特性。对于在简谐激振力作用下，线性单质量系统的频率响应函数为

           (2-41)

       它的模，它的虚部与实部之比为相位角，分别确定系统的幅频特性和相频特性，能全面反映系统的传递特性。

2.2.6单质量车身在路面激励下的振动响应

      对式(2-8)通常关心其稳态随机响应，它取决于路面不平度函数随机激励q(χ)和系统的频率响应特性函数Η(ω)。由上可知，系统频率响应函数Η(ω)_z~q为系统的振动响应Ζ的付氏变换与激励q的傅氏变换之比，即

                      (2-42)

式中，Ζ(ω)为响应z(t)的付氏变换；Q(ω)为激励q(t)的付氏变换。
      对式（2-8）进行付氏变换，可得单质量车身在路面激励下响应的频响函数为

           (2-43)

式中，为阻尼比；λ为频率比，λ﹦ω/ρ；ω为路面激励的圆频率；为系统固有圆频率。
       由式（2-43）得为单质量车身在路面激励下的幅频特性和相频特性，分别为
       幅频特性为          

         (2-44)

       相频特性为   

     (2-45)

       汽车在具有一定幅值的正弦波路面上行驶，即路面激励为

       则单质量车身在路面激励下的响应为

       又路面激励为正弦，所以系统的实际响应为

                  (2-46)

式中，为幅值Z，即路面激励的幅值为

                (2-47)

      如果路面激励以速度来表达，来表达，用上面同样的推导方法可得

             (2-48)

      若以加速度来表达，则

       (2-49)

       根据可以得到单质量系统的幅频特性曲线，如图2-10所示。

图2-10  单质量系统的幅频特性曲线

      由幅频特性频响函数式(2-44)和图2-10可知
      （1）当频率比λ＝1时，系统出现共振，幅频特性达到最大，即共振时的幅值，

       （2）在低频段（0≤λ≤0.75），|Η(ω)_z~q|略大于1，不呈现明显的动态特性，阻尼比对低频段的影响不大；
       （3）共振段（0.75≤λ≤√2）， |Η(ω)_z~q|出现峰值，将输入激励放大，增大阻尼比ξ，可使共振峰值明显降低；
       （4）高频段（λ≥√2），其中，当λ＝√2时，|Η(ω)_z~q|＝1，系统响应与阻尼比ξ无关；当λ＞√2时， |Η(ω)_z~q|<1，对输入位移有衰减作用，且阻尼比减小对减振有利。