第二章 第2章 车辆简化模型及振动

2.3.1双质量系统振动微分方程

      对于双轴汽车四个自由度的振动模型，当悬挂质量分配系数的数值接近1时，前后悬挂系统的垂直振动几乎是独立的，于是汽车可以简化为1/4汽车双质量2自由度系统振动模型，如图2-11所示。

图2-11  单轮双质量2自由度模型

      双质量系统振动模型，不仅可以反映的车身部分的动态特性，还能反映车轮部分在10~15Hz范围产生高频共振时的动态特性，它对平顺性和车轮的接地性有较大影响，比单质量系统更接近汽车悬挂系统的实际情况。
      设车轮与车身垂直位移坐标分别为Ζ₁和Ζ₂ ，坐标原点选在各自的平衡位置，则振动微分方程为

       (2-50)

式中，m₂为悬挂质量（簧上质量，包括车身等）；m₁为非悬挂质量（簧下质量，包括车轮、车轴等）；κ，κ_t分别为悬挂和轮胎刚度；c为悬挂系数阻尼系数。

2.3.2双质量无阻尼系统的自由振动

      当系统不计阻尼式，则双质量系统的自由振动微分方程变为

               (2-51)

      由运动方程可以看出，m₂与m₁的振动是相互耦合的。m₁若不动（z₁= 0），则得

      这相当于只有车身质量m₂的单质量无阻尼自由振动。
      其固有圆频率为        
同样，若m₂不动（z₂ = 0），相当于车轮质量m₁作单自由度无阻尼自由振动，于是可得

                 (2-52)

       车轮部分固有圆频率

                 (2-53)

       固有圆频率Ρ₀与Ρ_t是只有单独一个质量（车身质量或车辆质量）振动时的部分频率，称为偏频。
在无阻尼自由振动时，车身质量和车轮质量将以相同的圆频率ω和相角φ作简谐振动，设车轮和车身的振幅分别为z₁₀和z₂₀，则它们的振动响应分别为

                 (2-54)

                (2-55)

      将式（2-54）和式（2-55）代入振动微分方程组式（2-51），可得

          (2-56)

      将代入上式(2-56)，可得

               (2-57)

      此方程组有非零解的条件是z₂₀、z₁₀的系数行列式为零，即

      得系统的特征方程

                (2-58)

      方程（2-58）的两个根即为两自由度系统的两个主频率ω₁和ω₂的平方

              (2-59)

       将ω₁和ω₂代入式（2-57）中的任何一式，可得一阶主振型和二主振型，即
         一阶主振型：                                                              (2-60)
         二阶主振型：                                                            (2-61)
       例如，某汽车，车身固有圆频率Ρ₀＝2πrad/s，质量比r_m＝m₂/m₁＝10，刚度比r_k=k_t/k=9，求系统的主频率和主振型。
      由式（2-53）车轮的固有圆频率为

      由式（2-59）可得，系统两个主频率分别为

      由此可见，低的主频率ω₁与车身固有圆频率Ρ₀接近，高的主频率ω₂与车辆轮固有圆频率Ρ_t接近，且有 ω₁＜Ρ₀＜Ρ_t＜ω₂
      将两个主频率ω₁和ω₂分别代入式（2-60）和式（2-61），可确定两个主振型
       一阶主振型：      
       二阶主振型：       
       车身与车轮两个自由度系统的主振型，如图2-12所示。在强迫振动情况下，激振频率ω接近系统主频率ω₁时将产生低频共振，按一阶主振型振动，车身质量m₂的振幅比车轮质量m₁的振幅大将近10倍。所以主要是车身质量m₂在振动，称为车身型振动。
      当激振频率ω接近系统主频率ω₂时，产生高频共振，按二阶主振型振动，此时车轮质量m₁的振幅比车身质量m₂的振幅大将近100倍（实际由于阻尼存在而不会相差这样多），称为车轮型振动。

图2-12  两自由度系统的主振型

 
      在图2-12中两自由度系统的车轮型振动，由于车身基本不动，所以可将两个自由度系统简化为图2-13所示车轮部分的单质量系统，来分析车轮部分在高频共振区的振动。

图2-13  车轮部分单质量系统

      由图2-13可知，车轮质量m₁的运动方程为

             (2-62)

      利用对单自由度系统一般解法，可求得车轮位移Ζ₁对路面激励q的频率响应函数为

      将上式分子、分母除以k+k_t，并把车轮部分固有频率p_t，车轮部分阻尼比以及代入上式得

       其幅频特性为

                 (2-63)

      在高频共振ω=p_t时，车轮的加速度均方根值谱正比于车轮响应加速度对路面激励速度的幅频特性，即

           (2-64)

      可见，降低轮胎刚度Κ_t能使车轮固有圆频率Ρ_t下降，使簧下质量系统的阻尼比ξ_t加大，这是减小车轮部分高频共振时加速度的有效方法；降低非悬挂质量m₁使Ρ_t和ξ_t都加大，车轮部分高频共振时的加速度基本不变，但车轮部分动载下降，车轮相对动载F_d/G降低，有利于提高车辆行驶安全性。

2.3.3双质量振动系统的传递特性

      先求双质量系统的频率响应函数，将有关各复振幅代入方程式（2-50），可得

                (2-65)

      由式（2-65）的第1式可得，车身响应Z₂对车轮响应Z₁的频率响应函数，即

             (2-66)

      式中，λ为频率比，λ=ω/p₀；ξ为阻尼比，。
      由式（2-66）可知，双质量系统的车身响应z₂对车轮响应z₁的幅频特性|Η(ω)_z2~z1|与单质量系统幅频特性|Η(ω)_z~q|完全一样，即

                    (2-67)

      将式（2-66）代入方程组（2-65），可得车轮响应z₁对路面激励q的频率响应函数

                 (2-68)

      式中，。
      由式（2-68）可得车轮响应z₁对路面激励q的幅频特性|Η(ω)_z1~q|，即

          (2-69)

      式中，；λ为频率比，λ=ω/p₀；r_k为刚度比，r_k=k_t/k；r_m为质量比，r_m=m₂/m₁。
      车身振动位移响应Z₂对路面激励位移q的频率响应函数|Η(ω)_z2~q|，由式（2-66）及式（2-68）两个环节的频率响应函数相乘，便可得到

即      (2-70)

       因此，车身振动位移响应Z₂对路面激励位移q的幅频特性就为两个环节幅频持性相乘，即

                                  

       即                   (2-71)
       图2-14、图2-15分别是对应式（2-69）和式（2-71）的幅频特性曲线。

图2-14  Z₁对q的幅频特性曲线图

图2-15    Z₂对q的幅频特性曲线
 

      由图2-14和图2-15可以看出，对于这个车身车轮二自由度模型，当激振频率接近系统一阶固有频率ω₁和二阶固有频率ω₂时，都会发生共振，车身位移Z₂对q幅频特性和车轮位移Z₁对q的幅频特性，都有低频、高频两个共振峰。